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陈省身:三角形内角和不等于180°

2019-10-22 07:46:30 | 西红信息门户网

三角

外角的总和是360°

作为一名公认的劳动模范,在正常的日子里,超模不仅需要码字,而且还要在下班后监督他们表弟的作业。难怪表哥的成绩总是名列前茅。

今天,当我表弟做作业时,她遇到了一个判断问题:“三角形内角的总和等于180度。”她毫不犹豫地打勾。

超级名模国王告诉他的表弟,你可以勾选这个问题,但是你也必须知道这个说法并不完全正确。

表哥急了,怎么会呢?教科书明确指出“三角形内角之和等于180”,老师在课堂上反复强调每个人都必须记住这个定理。

为了从小培养表妹严谨的科研精神,超模金决定给她一个教训!

三角形的外角之和是360度。

三角形内角之和等于180的数学常识实际上并不严格,这是我们从小就熟悉的。让我们从伟大的中国数学家陈省身的演讲开始。

那是1980年,陈省身教授应邀在北京大学发表演讲。他震惊了:“人们常说三角形的内角之和等于180°。但是,这是错误的!”

当时,现场一片哗然,目瞪口呆。三角形内角的总和不等于数学中的180度常识吗?发生什么事了?

然后,陈教授给了大家一个很好的答案:

在这次讲座中,陈教授向我们提出了一个观点:数学不是列出更多的现象,也不是追求更好的技能,而是从一个更普遍的角度寻找规律和答案。

不仅观察多边形的内角,而且用一个与n无关的常数代替与n有关的公式,可以发现一个更一般的规则:任何n边形状的外角之和是360°。

这里有一个例子来简单地证明任何n边形状的外角之和是360的规则。

假设一只蚂蚁绕着多边形的边界转圈(下图)。每次它通过一个顶点时,它前进的方向都会改变一次,改变的角度正好是顶点的外角。爬一圈,回到原来的地方,方向和出发时间是一样的,角度变化的总和当然正好是360度。

用这种方式看问题,我们可以找到一个直观的解释,说明任意多边形外角之和等于360的一般规律。

在那次讲座中,陈教授没有否认“三角形内角之和等于180”,因为它涉及欧洲几何和非欧洲几何。

三角形内角的总和不一定等于180°

“三角形内角之和等于180”是从欧洲几何学公理5(也称为平行公设)中推导出来的公理。在欧洲几何学中,“三角形内角之和等于180”是正确的。

以下是三角形内角之和等于180的一般规则的简单证明:

随着数学研究的进展,欧几里得几何中的公理5在高斯时代受到质疑。

俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约说:第五条公理只是公理系统的可能选择,并不是不可避免的几何真理,即“三角形内角之和不一定等于180”,从而发现了非欧几里德几何,即非欧几里德几何。

例如,地球赤道、0度经线和90度经线相交形成一个“三角形”。这个“三角形”的三个角应该都是90 °,它们的总和是270 °!

相反,凹面上三角形的内角之和自然小于180°,因此在非欧几里德几何中,三角形的内角之和不一定等于180°。

那些有趣的三角形

在我们的生活中有许多有趣的三角形,它们的内角之和大于180°或小于180°,有些三角形还被人们巧妙地用在各个领域。

例如,可以用于运输的勒罗伊三角形:

谢尔宾斯基三角形(Scherbinsky triangle):一个正三角形,一个“中心三角形”(即以原始三角形每边的中点为顶点的三角形)被切掉,一个“中心三角形”从剩余的小三角形中被切掉。在这样一个无限循环中,谢尔宾斯基三角形的面积接近于零,而它的周长接近于无穷大。

不存在于三维世界中的彭罗斯三角(Penrose triangle):彭罗斯三角被称为“不可能的最纯粹形式”。它将三个不同角度的三角形的顶角整合成一个整体,因此应该是平面的曲面是扭曲的。这样的三角形不可能存在于三维世界中。

艺术家们在他们的作品中巧妙地使用了这样的“三角形”,例如世界著名的绘画:埃舍尔瀑布。

瀑布

此外,澳大利亚东珀斯的标志性建筑是彭罗斯三角的典范。

澳大利亚东珀斯的彭罗斯三角

股东眼中的三角形:对三角形布局的突破性分析是高层股东的必备技能。

程序员眼中的三角形:好吧,在程序员的世界里,一切都是字母数字的。

非欧几里德几何应用

回到开始时我和我表弟谈的话题:三角形内角之和等于180°的对错。事实上,在小学,默认是欧洲几何,所以它是正确的。然而,在非欧几里德几何中,三角形内角之和等于180°,无法建立。

非欧几里德几何的应用在生活中和欧洲几何一样普遍。例如,在航天科学中,地球本身是弯曲的。如果使用欧洲几何学,只会导致错误的结论。

这张照片来自b站的肉兔君

现代黎曼几何已经应用于广义相对论。爱因斯坦广义相对论中的空间几何是黎曼几何。

在看到罗巴切夫斯基和黎曼的发现后,爱因斯坦放弃了广义相对论中时空一致的概念,认为时空是弯曲的。非欧几里得几何成为解释相对论的数学工具。

数学的意义在于它经常领先于其他科学。我们可以通过数学研究为其他科学提供很多帮助。

尽管学习数学可以让人头脑冷静,但有些人仍然带着“我不是秃头,而是秃头”的精神走在数学研究的道路上。

所以这杯,献给所有热爱数学的人。

再说,表哥,你明白吗?

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